程序设计实习：13.3几个例题

动态规划 最长上升子序列：例题二：最长上升子序列

问题描述 一个数的序列ai，当a1 < a2 < ... < aS的时候，我们称这个 序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可 以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)， 有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序 列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8). 你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入数据 输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出 序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出要求 最长上升子序列的长度。

1.找子问题 “求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个 子问题，但这样分解子问题，不具有“无后效性” 假设F(n) = x,但可能有多个序列满足F(n) = x。有的 序列的最后一个元素比 an+1小，则加上an+1就能形成更长上 升子序列；有的序列最后一个元素不比an+1小……以后的事 情受如何达到状态n的影响，不符合“无后效性” 6 解题思路 1.找子问题 “求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的 长度” 一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的 “终点”。 虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但 是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中， 最大的那个就是整个问题的解。

2. 确定状态： 子问题只和一个变量-- 数字的位置相关。因此序列中数 的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以ak 做为“终点”的最长上升子序列的长度。 状态一共有N个。

3. 找出状态转移方程： maxLen (k)表示以ak做为“终点”的 最长上升子序列的长度那么：

初始状态：maxLen (1) = 1 maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1 若找不到这样的i,则maxLen(k) = 1 maxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak ，且长度 最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于 ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

动归的三种形式

1）记忆递归型 优点：只经过有用的状态，没有浪费。递推型会查看一些 没用的状态，有浪费 缺点：可能会因递归层数太深导致爆栈，函数调用带来额 外时间开销。总体来说，比递推型慢。

2) “我为人人”递推型 没有什么明显的优势，有时比较符合思考的习惯。个别特 殊题目中会比“人人为我”型节省空间。