辛几何：物理学是如何为数学找到一个几何结构的？

在19世纪早期，威廉·罗文·汉密尔顿发现了一种具有近乎神奇性质的新型几何空间。它把运动和数学编码成一个单一的、闪烁的几何物体。

这一现象催生了一个叫做辛几何的领域。在过去的几十年里，它已经从一个小的见解集合发展成为一个动态的研究领域，与数学和物理的更多领域有着深刻的联系，比汉密尔顿所能想象的还要多。

辛几何最终研究的是具有辛结构的几何空间。但是一个空间有一个结构到底意味着什么——更不用说这个特殊的结构了——需要一点解释。

几何空间可以像防水面料一样松软，也可以像帐篷一样僵硬。西北大学的艾美·墨菲说：“防水布很有可塑性，但不管怎样，你可以用一堆树枝或脚手架来塑造它。”。“这让它变得更加具体。”

结构最少的空间只是连接点的集合。直线是一维空间。球的表面是二维的。这些空间中缺乏结构意味着很容易在不从根本上改变它们的情况下使它们变形：扭曲线条，膨胀、缩进或扭曲球体，在研究这些非结构化空间的拓扑学家看来，它们仍然是一样的。

剑桥大学的艾尔莎·基廷说：“就地形学家而言，如果你从一个球的表面开始，你可以随心所欲地拉伸它，但只要你不打破它，它对他们来说仍然是同一个空间。”他们对整体形状感兴趣。”

当然，当数学家谈论空间变形时，他们并不是说要用手拉它。相反，它们用函数变换空间：一个点的坐标变成一个函数，一个新点的坐标就出来了。这些变换将空间的每一个点带到空间中的新点。这在数学上相当于晃动防水棉料。

您还可以向空间添加更多的结构。这种结构增强了空间包含的信息，但也限制了变形的方式。

例如，您可以向球的表面添加度量结构，例如在地球仪上添加经度和纬度线。这种结构使测量两点之间的距离成为可能。但是一旦添加了这个度量，你就不能再在不破坏原有结构的情况下使球膨胀或缩进，因为这样你就改变了点与点之间的距离。例如，如果你使地球膨胀，纽约和伦敦会相距更远。

辛结构是另一种可以添加的结构，它提供了一种测量空间面积的方法，并且只有在面积测量值保持不变的情况下，你才能改变空间的形状。

汉密尔顿在研究诸如行星运动等物理系统时发现了第一个这样的空间。当行星在空间中移动时，它的位置是由三个坐标确定的，分别是x、y和z轴。这些点代表了行星所有可能的位置，形成了一个三维空间。

汉密尔顿观察到，在三维空间的每一点上，你可以指定三个额外的坐标，来指定行星沿每个轴的动量。叫他们xm，ym和zm。现在你有六个坐标：三个代表位置，三个代表动量。这六个坐标定义了一个新的六维空间中的点。

他的六维空间是一个辛结构空间的例子，因为它可以进行面积测量。这就是它的工作原理。

在空间中的每一点上都可以画出六个“矢量”，或者有向箭头，它们对应着行星在矢量所指向的维度上的方向或动量。因为两个向量可以定义一个平行四边形——一个有面积的二维空间——我们可以取空间中的两个向量来测量一个面积。

但是为了确保它是一个非零的数字，你必须选择特定的一对向量：那些表示沿着同一轴的方向和动量的向量。不匹配的向量，如z方向向量与y动量向量配对，形成面积为零的平行四边形。

这些成对向量也反映了辛空间的另一个重要性质，即它们与复数的内在联系。这些数字包括i，即1的平方根，它们采用a bi的形式，其中a是实部，b是虚部。定义六维辛空间的一种方法是用三个复数，每个复数的两个部分提供两个坐标。这两部分也对应于我们配对测量面积的两个向量。

因此，对于每个点，基于x的方向和动量向量（例如）不仅提供了测量面积的方法，而且构成了定义空间的三个复数之一。这种关系反映在辛的名称中，辛来自希腊语单词sumplektikós，相当于基于拉丁语的“complex”，这两个词都意味着“编织在一起”——这让人联想到辛结构和复数相互交织的方式。

这也是辛空间吸引数学家想象力的主要原因之一。

辛几何研究是一种保持辛结构，保持面积测量不变的空间变换。这允许在您可以使用的转换类型方面有一定的自由，但不是太多。因此，辛几何占据了一种介于防水布的松散拓扑和帐篷的刚性几何之间的中间位置。维持辛结构的转换类型被称为哈密顿异型。

但是，尽管汉密尔顿发现了辛空间的第一个例子，接着数学家开始思考在与物理世界无关的几何空间中，辛现象会是什么样子。

数学家总是喜欢推广，所以我们可能会说，‘如果我们生活在八维空间而不是三维空间，经典力学会是什么样子？

从20世纪60年代开始，弗拉基米尔·阿诺德(VladimirArnold)就提出了几个有影响力的猜想，这些猜想抓住了辛空间比普通拓扑空间(比如松软的球面)更具刚性的具体方式。其中一个被称为阿诺德猜想，它预测了哈密顿方程的异态具有数量惊人的“固定”点，这些点在变换过程中不会移动。通过研究它们，你可以知道是什么使辛空间不同于其他的几何空间。

20世纪80年代末，一位名叫安德烈亚斯·弗洛尔(AndreasFloer)的数学家提出了一种名为弗洛尔同构的理论，这是一种强有力的框架，是数学家现在研究辛现象的主要方法。它使用了被称为伪全纯曲线的对象，这种曲线以迂回的方式允许数学家计算不动点，并确定它们的某个最小数目是辛空间固有的。