牛顿到底有多牛？看他如何想到引力的平方反比定律，你就知道了

艾萨克·牛顿，一个任何人都耳熟能详的人物，他的大名是如此的如雷贯耳，他是大部分人上学时认识到的第一位物理学家、数学家，他是人类历史上少有的天才级人物。

牛顿本人正如他的名字一样，真的很牛！他是人类历史上第一位将科学和神学分家的人，他凭借一己之力，通过总结前人的经验，凭借自己犹如神助一般的思维见解，以及高超的数学能力，开创了经典物理学。

其中最为伟大的发现就是我们熟知的万有引力，万有引力的发现不仅为开普勒的三大定律提供了理论依据，还解释了人们日常生活中看到的所有物体自由下落的现象，以及行星绕太阳运行的本质。

万有引力的数学公式看起来相当的简洁，但其中有两个相当关键的部分：万有引力的大小和两个物体的质量成正比，而与两个物体之间距离的平方成反比。

第一部分我们还能够理解，但第二部分F∝1/r，这个关系现在看来依然让我们感到困惑，为什么引力会和质量物体距离的平方成反比呢？牛顿当时是怎么知道这种数学关系的？

今天我们就说下平方反比的来历，通过这件事，我们就能充分的认识到牛顿在当时的惊人见解。

在说牛顿之前我们不得不提一下伽利略和笛卡尔，这两位历史上比较有名的物理学家。因为牛顿本人都说了，他的成就是站在巨人的肩膀上完成的。

伽利略本人除了是一位伟大的天文学家以外，还是实验物理学的开山鼻祖，在伽利略之前，人们认为力是维持物体运动的根本，这个观点来自亚里士多德。

说的意思是，物体运动是因为他受到了一个持续的力，如果撤掉这个力，物体就会静止。但伽利略认为力不是物体运动的根本，是改变物理运动速度的原因。

其实伽利略已经把牛顿第二定律差不多说出来了。（F=ma）

再一个就是笛卡尔，在开普勒提出行星运动三大定律以后，很明显亚里士多德之前提出的物理规律已经不适合新的时代要求了。

（亚里士多德认为在地球上重物下降、轻物上升，在地球之外的天上和地球不遵循同样的物理规律，天上是由以太组成的，各大行星在各自的天球上绕着地球旋转，在行星的天球之外是恒星天球，然后是由上帝主管的原动力天，原动力天为行星的运动提供原动力）

因此为了适应新的太阳系模型（日心说）以及行星的椭圆轨道，就急需提出一套新的物理学，来为此模型作为理论基础。

笛卡尔当时想开创新的物理学，想完成牛顿的工作，但他最终还是没有成为牛顿这样的人。

不过笛卡尔还是提出了一些惊人的见解，为牛顿后来的工作铺平了道路。

首先笛卡尔认为宇宙中除了物质就是运动，再没有其他任何事物了。

这个思想相当的关键，意思就是说，地球和天上没有区别，都遵循着同样的物理规律。举个例子就是：在笛卡尔看来苹果和月球没有任何区别。

彻底否定了亚里士多德几千年来认为的，天地之别的概念。这个思想启发了牛顿，敢把月球绕地球的运动，和苹果在地面的下落联系起来进行研究。

其次笛卡尔认为，物体在没有受到外力的情况下，会保持自己原有的状态（静止或者匀速直线运动），而且数量守恒。

这个思想也启发了牛顿提出了第一定律，也就是惯性定律。

有了以上前人的成就，牛顿作为人类几百年难得一见的天才，能够开创新的物理学就显得理所当然了。

我们常听说牛顿的万有引力来自于他在家躲避瘟疫的时候，看见自家后院下落的苹果想到的，其实并不是这样的，牛顿躲避瘟疫的时间是1665年，而万有引力出来的时间是1687年，这中间经历了23年。

足以见得万有引力并不是牛顿一时间的灵光乍现，而是几十年的辛苦成果，因此一颗苹果不足以让牛顿发现万有引力。

但这颗下落的苹果足以让牛顿思考，苹果本身是受到了一个看不见摸不着的力，不然苹果应该保持静止，而不会下落。（这一点可以从笛卡尔早就提出的惯性定律得出）

其实在当时很多人都认识到了这一点（苹果应该是受到了力才会下落，但他们不敢相信），但只有牛顿敢于相信，苹果受到了一种看不见的、魔法般的、超距作用力。

说真的，就算亚里士多德复活，他也不敢相信世间竟然有如此神奇的魔法之力，那么牛顿为何就愿意相信呢？

因为在牛顿的心里一直住着一位万能的上帝，一位有着自由意志的上帝，牛顿本人一生都痴迷着炼金术，他相信世间存在魔法，相信超自然现象，有人甚至认为牛顿除了是一位科学家以外，他还是人类历史上最后一位魔法师。

这样的牛顿相信两个物体之间有超距作用力，就显得合乎情理了。

而牛顿研究这个超距作用力并不是从苹果入手的，而是绕地球旋转的月球，根据笛卡尔的见解，牛顿本人产生了这样在当时十分超前的想法：

让苹果下落的力和使得月球绕地球旋转的力是同一个力。

不可否认，这是牛顿灵光乍现的时刻。

而且牛顿为了验证他这个想法， 还做了一个惊人的思想实验。就是牛顿大炮。

想象在一座高山上架一门大炮，就像上图那样，现在大炮向前发射炮弹，排除空气阻力以及神乎其神的引力外，这个炮弹的路径就是A，直线匀速飞行，并且彻底的远离地球，不会落到地面上。

但是牛顿想，地球上有神奇的引力，那么炮弹的路径就会变成B或者是C，落点的远近取决于炮弹的初始速度。

那么当炮弹的速度达到一定的值，那么炮弹的下落的速率就会等于地面弯曲的速率，这时炮弹就不能落到地面上了，它的路径就是D。

这时的炮弹其实是一直往地面落，但是总是会错过地面，因为地面是弯曲有一定曲率的。那么同样的，月球绕着地球转，也是同样的道理，月球一直在受到地球的引力，往地面落。但是一直在错过地面。

这个想法简直神了，不仅让牛顿知道了平方反比定律，而且这也是现代人类发射火箭的原理。没有一个聪明绝顶的大脑，是根本想不到这个思想实验的。

那么牛顿是如何证明平方反比定律的？

上图就是月球绕地球运动的轨道，月球的轨道速度为V，如果月球没有受到地球的引力，那么它的路径就是AB，在任何时间内AB的距离都等于VΔt。

但是月球会受到地球的引力，那么在Δt的时间内月球都会落向地球，而下落的距离就是CB。

三角形EAB是一个直角三角形，那么通过勾股定理就能得出：

其中EC和EA是相等的，可以抵消掉，然后给式子的两边我们再除一个2EC，得：

上个式子中的CB，这个值的大小会随着Δt的变小而变小，而CB会比CB变小的更快，也更快的趋近于0，因此我们可以忽略掉上式中的CB，得出：

上式中的AB等于VΔt，EC其实就是月球的轨道半径，因此：

牛顿当时也知道自由落体公式，他能轻而易举的写出一个物体在Δt的时间内下落的距离：

上个式子中的a就是自由落体的加速度，因此在根据式子（4），我们就能写出月球自由落体的加速度为：a =v/ R。还可以写成：

上式中的ω是角速度，ω还可以写成：

上式中的C是月球轨道的周长等于VT（T月球的轨道周期），所以ω=2π/ T。

在牛顿当时已经知道了月球的轨道周期，以及月球的轨道半径，所以把这些数字带到式子（7）和（6）中就能得出月球的a＝ 0.274cm / s。

很明显，月球在距离地球R的位置上所受到的重力加速度小于地球表面处的重力加速度（g = 981 cm /s）；

这表明当远离地球的时候，引力就会减小，但是它们之间的关系是什么呢？

对于地球表面来说，苹果与地球的距离就是地球的半径R = 6371 km，而月球与地球的距离为R =384400公里。

牛顿注意到g / a和R / R之比分别为3580和60.33。

两者之间的关系大约是：

牛顿得出这个数学关系的过程并不是特别的复杂，主要的是他的思想在当时无人能及。

也可以说，牛顿当时敢这样去想、去算，完全是因为自己炼金术士的身份。他相信宇宙中存在魔法般的超距作用力。

通过对月球轨道的计算，让牛顿更加坚信了自己的想法没有错。万有引力是真实存在的，而且可以写成F=GmM/r^2。

并且在1687年发表了人类历史上最伟大的巨著《原理》，为人类拨开迷雾，迎来科学的光明。