被称为“数学女王”的“数论”有多美？它正在促进现代数学大统一

数学是极美的，特别是被人们称之为“数学女王”的“数论”，更是散发出无与伦比的美，引得无数的数学家为之痴迷。然而，“数论”到底有多美呢？它正在促进现代数学的“大统一”，指导着未来数学的发展方向。那么“数论”到底是怎么回事呢？

“数论”是纯粹数学的分支之一，主要研究“整数”的性质。而“整数”的基本元素是“素数”（也称质数），所以“数论”的本质是对“素数性质”的研究。“数论”被高斯誉为“数学中的皇冠”。因此，数学家们常把“数论”中一些著名的“猜想”称做“皇冠上的明珠”，鼓励人们去“摘取”。但是，“数论”是数学中最为古老的一门学科，也是人类最难掌握的三大“思维能力”之一。

“数论”之难，难在其“极为简单的理论”基础之下隐藏着一个错综复杂的未知世界。“数论”的入门很简单，进入小学一年级的第一天，我们就开始接触“数论”，“数论”中的加、减、乘、除、取余、约、倍、质、合等概念和知识，五年级小学生都能理解，但是随便出个题，都有可能难倒大学教授。

“数论”不仅仅是从个人的学习角度来看非常的难，就算将它放到整部数学史中去看，同样历经了一个艰辛的过程。而其中最难的，就是对“质数”的寻找。

早在人类的童年时期，人们就认识了“整数”，在类的生产、生活当中，人们学会了对“整数”的“加、减、乘、除”等运算，人们称之为“算术”，这也是“数论”早期的叫法。

人类发明“整数”之后，似乎天生就对“素数（即质数）”的寻找充满了热情。早在公元前300年，古希腊数学家“欧几里德”证明了有“无穷多个素数”。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种寻找素数的“埃拉托斯特尼筛法”。

“第一次数学危机”之后，人们意识到“整数系”的不完整，认为“几何”的“逻辑推演”对于“整个数学大厦”的构建来说会更加严谨。因而“算术”很快从“毕达哥拉斯学派”的巅峰时期逐渐衰落，取而代之的是“几何学”成果的井喷式发展，欧几里德所著的史诗级巨著《几何原本》应运而生。

“算术”的衰落一直延续了两千多年，在这漫长的岁月里，“数论”的研究几乎是一片空白。

直到15-16世纪，随着“哥德巴赫猜想”、“孪生素数猜想”、“斐波那契数列猜想”、“梅森数猜想”、“费马大定理”、“黎曼猜想”的相继提出。一大批著名的数学家如夜空中的繁星布满了夜空，比如费马，梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特、凯拉吉等人为“数论”的发展付出了艰辛的努力，“数论”这门古老的学科再次焕发出了新的活力。

在这个时期，“数论”研究的主要内容依然是寻找“素数”的“通项公式”。不过人们研究“数论”的思想方法和工具已经有了长足的进步，已由刚开始的“初等数论”进一步发展为“解析数论”和“代数数论”。

1801年，德国数学家高斯总结了前人的“算术”成果，写下了开辟新纪元的数论巨著《算术研究》。在《算术研究》中，高斯将“整数性质”的符号标准化，将“公式定理”系统化，高斯在这一著作中提出了“同余理论”， 并发现了著名的“二次互反律”， 被人们誉之为“数论之酵母”。

近些年来，“数论”得到了极快的发展。美国中央密苏里大学数学家柯蒂斯·库珀领导的研究小组发现了目前已知的最大素数——257885161-1 （即2的57885161次方减1）。美国数学学会发言人迈克·布林宣称：这是数论研究的一项重大突破。

在我国的“数论”研究中，也取得了举世瞩目的成就。华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家，验证了对于几乎所有的“偶数猜想”。1966年，陈景润证明了任何一个充分大的“偶数”，都可以表示为“两个数之和”，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”（也就是最接近传说中“1+1”问题的最新成果“1+2”。）

人们都说，“数论”的研究最大的收获并不是解决了多少实际的问题，而是在这条追寻真理的路上，给人们带来了意外的惊喜。比如，人们通过对“数论”的研究，发现了各个看似不相关的数学领域存在着某种深刻的内在联系。

随着数学工具的不断深化， “数论”开始和“代数几何”深刻地联系起来， 最终发展成为当今最深刻的“数学理论”，比如“算术代数几何”， 它们将许多此前的“研究方法”和“研究观点”最终统一起来，为形成数学的“大统一”思想“朗兰兹纲领”的建立奠定了基础。

1967年，朗兰兹提出了著名的对“数论”有着重要指导作用的“朗兰兹纲领”，将原本看起来毫不相关的“数论”、“代数几何”与“约化群”之间建立起了联系，成为未来“数论”的前进方向。

在此纲领的指导下，“算术代数几何”在今天已经发展到了最前沿的领域，它立足于“代数几何”的角度去研究“数论”的性质。比如在“费马大定理”的证明过程中，数学家怀尔斯就用到了“朗兰兹纲领”等极为重要的“理论工具”。因而“费马大定理”问题的解决，成为了“朗兰兹纲领”最为有为的支撑，也为未来“数论”以至于整个数学的发展，指明了方向。