小学奥数最常见22个知识详解，附公式及例题！

本文22个知识内容：

归一问题归总问题和差问题和倍问题差倍问题倍比问题相遇问题追及问题植树问题年龄问题行船问题火车过桥时钟问题盈亏问题工程问题牛吃草鸡兔同笼商品利润存款利率溶液浓度列方程错中求解

题型一：归一问题

【含义】在解题时先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

【数量关系】

总量÷份数=单一量

单一量×所占份数=所求几份的数量

或总量A÷（总量B÷份数B）=份数A

【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

【例】买5支铅笔需要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

解：先求出一支铅笔多少钱——0.6÷5=0.12（元）

再求买16支铅笔需要多少钱——0.12×16=1.92（元）

综合算式：0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）

题型二：归总问题

【含义】解题时先找出“总数量”，再根据已知条件解决问题的题型。所谓“总数量”可以指货物总价、几天的工作量、几亩地的总产量、几小时的总路程等。

【数量关系】

1份数量×份数=总量

总量÷一份数量=份数

【解题思路】先求出总数量，再解决问题。

【例】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进剪裁方法后，每套衣服用布2.8米。问原来做791套衣服的布，现在可以做多少套衣服？

解：先求这批布总共多少米——3.2×791=2531.2（米）

再求现在可以做多少套——2531.2÷2.8=904（套）

综合算式：3.2×791÷2.8=904（套）

题型三：和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。

【数量关系】

大数=（和+差）÷2

小数=（和－差）÷2

【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。

【例1】某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8部，那么两个车间车床数相等。两个车间各有车床多少部？

解：已知第一、二两个车间共有车床96部，又根据“如果第一车间拨给第二车间8部，两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二车间多8×2=16部车床。所以，第一车间原有：（96+8×2）÷2=56部，第二车间原有56－8×2=40部。

【例2】哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？

解：我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，根据“如果哥哥给弟弟4张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。所以，弟弟有邮票：（70－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。

题型四：和倍问题

【含义】已知两个数的和及“大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）”，求这两个数各是多少。

【数量关系】

总和÷（倍数+1）=较小数

总和-较小数=较大数

或较小数×倍数=较大数

【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。

【例】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树是杏树的3倍，求杏树和桃树各有多少棵？

解：先求杏树有多少棵——248÷（3+1）=62（棵）

再求桃树有多少棵——62×3=186（棵）

题型五：差倍问题

【含义】已知两个数的差及“大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）”，求这两个数各是多少。

【数量关系】

两个数的差÷（倍数-1）=较小数

较小数×倍数=较大数

【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。

【例】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树度124棵，求杏树和桃树各有多少棵？

解：先求杏树有多少棵——124÷（3-1）=62（棵）

再求桃树有多少棵——62×3=186（棵）

题型六：倍比问题

【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出倍数，再用倍比方法算出要求的数。

【数量关系】

总量A÷数量A=倍数

数量B×倍数=总量B

【解题思路】先求出倍数，再利用倍比关系求解。

【例】100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

解：先求倍数，3700千克是100千克的多少倍——3700÷100=37（倍）

再求可以榨油多少千克——40×37=1480（千克）

综合算式：40×（3700÷100）=1480（千克）

题型七：相遇问题

【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇的问题。

【数量关系】

相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）

总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。

【例】南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，问经过几小时两船相遇？

解：直接套用公式392÷（28+21）=8（小时）

题型八：追及问题

【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者 在同一地点不同时出发，或者在不同地点不同时出发）作相向运动。在后面的行进速度快，在前面的行进速度慢，在一定时间内，后者追上了前者的问题。

【数量关系】

追及时间=追及路程÷（快速-慢速）

追及路程=（快速-慢速）×追及时间

【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。

【例】好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

解：先求劣马先走了多少千米——75×12=900（千米）

再求好马几天能追上——900÷（120-75）=20（天）

综合算式：75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）

题型九：植树问题

【含义】按相等的距离，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中两个量，求第三个量的问题。

【数量关系】

线性植树 棵数=距离÷棵距+1

环形植树 棵数=距离÷棵距

方形植树 棵数=距离÷棵距-4

三角形植树 棵数=距离÷棵距-3

面积植树 棵数=面积÷（棵距×行距）

【解题思路】先弄清是哪种植树问题，再套用公式。

【例】一条河堤136米，每隔2米栽一棵柳树，头尾都栽，一共要栽多少棵柳树？

解：直接套用“线性植树”公式——

136÷2+1=68+1=69（棵）

题型十：年龄问题

【含义】已知一个人的年龄，根据已知条件求另一个人的年龄。

【数量关系】两人年龄差不变。

【解题思路】抓住“年龄差不变”的特点，转化为和差倍比问题求解。

【例1】三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？

由题意可知爸爸今年43岁，则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40岁正好是女儿年龄的4倍，女儿三年前的年龄是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋3=13岁。

【例2】明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。今年明明12岁，妈妈今年多少岁？

妈妈的年龄是明明的8倍，那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁。妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明12岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。

题型十一：行船问题

【含义】关于船速、水速、逆水、顺水的航行问题。船速即船只在静水中航行的速度，水速指水流速度，船只顺水航行是船速与水速之和，船只逆水航行是船速与水速只差。

【数量关系】

（顺水速度+逆水速度）÷2=船速

（顺水速度-逆水速度）÷2=水速

顺水速度=船速×2-逆水速度=逆水速度+水速×2

逆水速度=船速×2-顺水速度=顺水速度-水速×2

【解题思路】直接套用公式即可。

【例】一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水航行这段路程需用几小时？

解：直接套用公式——船速为320÷8-15=25（千米/小时）

船在逆水中的速度为25-15=10（千米/小时）

船逆水航行这段路程的时间为320÷10=32（小时）

题型十二：火车过桥问题

【含义】这是与列车行驶有关的问题，解答时注意列车车身的长度。

【数量关系】 火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）÷车速

【解题思路】利用数量关系及其变式求解。

【例】一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？

解：火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

先求火车三分钟行多少米——900×3=2700（米）

再求火车长度——2700-2400=300（米）

综合算式：900×3-2400=300（米）

题型十三：时钟问题

【含义】研究钟面上时针与分针的关系问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针呈夹角等。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍。

二者的速度差为11/12。

【解题思路】变通为“追及问题”或者“差倍问题”求解。

【例】从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合。

解：根据数量关系，每分钟分针比时针多走（1-1/12）=11/12格。4点整时，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为20÷（1-1/12）≈22分

题型十四：盈亏问题

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或者两次都有余，或者两次都不足的问题。

【数量关系】

一盈一亏，则有：

参加分配总人数=（盈+亏）÷分配差

两次都盈或两次都亏，则有：

参加分配总人数=（大盈-小盈）÷分配差

参加分配总人数=（大亏-小亏）÷分配差

【解题思路】分清是哪种盈亏问题，直接套用公式。

【例1】小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分5个，就多出10个；如果每人分6个，就少2个。小明全家有多少人？这篮梨有多少个？

解：根据题目中的条件，我们可知：

第一种分法：每人分5个，多10个；

第二种分法：每人分6个，少2个。

这说明全家人数为：10＋2=12人，也就是说：

不足的个数＋多余的个数=全家的人数

这篮梨的个数是：5×12＋10=70个；

【例2】幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？

解：根据题目中的条件，我们可知：

第一种分法：每班分8个，多2个；

第二种分法：每班分10个，少12个。

从上面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种分法每班多分10－8=2个，所以，所需的玩具总个数从多2个变成了少12个，也就是说在多2个的基础上再加12个，才能保证每班分10个；第二种分法所需的玩具个数比第一种多12＋2=14个，那是因为每班多分了2个。根据这一对应关系，即可求出班级的个数为：14÷2=7个，玩具的总个数为8×7＋2=58个。

题型十五：工程问题

【含义】研究工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系。

【数量关系】

工作量=工作效率×工作时间

工作时间=工作量÷工作效率

工作时间=工作量÷（甲的工作效率+乙的工作效率）

【解题思路】解答问题的关键是把工作总量看做“1”，再套用公式。

【例】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

解：把此项工程看作单位“1”，那么甲每天完成1/10，乙每天完成1/15，两队合作每天完成（1/10+1/15），由此可列出算式 1÷（1/10+1/15）=1÷1/6=6（天）

题型十六：牛吃草问题

【含义】这个问题是大科学家牛顿提出的，这类问题的特点在于要考虑草边吃边长的因素。

【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量×天数

【解题思路】关键是求草每天的生长量。

【例】一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解：设每头牛每天吃草量为1，根据公式分5步解答：

求草每天的生长量：50÷（20-10）=5

求草原有草量=10天内总草量-10天内生长量

=1×15×10-5×10=100

求5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125

求多少头牛5天吃完草：125÷（5×1）=25（头）

题型十七：鸡兔同笼问题

【含义】这是古典的算术问题，第一类是已知鸡兔共有多少只和多少只脚，求鸡兔各有多少只的问题；另一类是已知鸡兔总数和鸡脚与兔脚之差，求鸡兔各有多少只的问题。

【数量关系】

第一类问题：假设全都是鸡，则有

兔数=（实际脚数-2×鸡兔总数）÷（4-2）

假设全都是兔，则有

鸡数=（4×鸡兔总数-实际脚数）÷（4-2）

第二类问题：

假设全都是鸡，则有

兔数=（2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差）÷（4+2）

假设全都是兔，则有

鸡数=（4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差）÷（4+2）

【解题思路】分清是哪一类鸡兔同笼问题，然后套用公式即可。

【例】鸡兔同笼，共有35只头，94只脚，问鸡兔分别多少只？

解：假设笼子里全是兔子，则根据公式

鸡数=（4×35-94）÷（4-2）=23（只）

兔数=94-23=12（只）

题型十八：商品利润问题

【含义】关于成本、利润、利润率、亏损、亏损率等方面的问题。

【数量关系】

利润=售价-进价

利润率-（售价-进价）÷进价×100%

售价=进价×（1+利润率）

亏损=进货价-售价

亏损率=（进货价-售价）÷进货价×100%

【解题思路】利用公式及其变式即可解答。

【例】某商量的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

解：设这种商品原价为“1”，则一月份售价为（1+10%），二月份售价为（1+10%）×（1-10%），所以二月份售价比原价下降了 1-（1+10%）×（1-10%）=1%

题型十九：存款利率问题

【含义】关于本金、利率、存期三个因素的问题。

【数量关系】

年（月）利率=利息÷本金÷存款年（月）数×100%

利息=本金×存款年（月）数×年（月）利率

本利和=本金+利息=本金×（1+年（月）利率×存款年（月）利率）

【解题思路】直接套用公式即可。

【例】大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长？

解：先求总利息是（1488-1200）元，

再求总利率为（1488-1200）÷1200

则存款月数为（1488-1200）÷1200÷0.8%=30（月）

题型二十：溶液浓度问题

【含义】关于溶剂（水或其他液体）、溶质、溶液、浓度几个量之间关系的问题。

【数量关系】

溶液=溶剂+溶质

浓度=溶质÷溶液×100%

【解题思路】利用公式及其变式，进行分析计算，即可解题。

【例】现有16%的糖水50克，要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？

解：直接根据公式 50×16%÷10%-50=30（克）

题型二十一：列方程问题

【含义】把题目中的未知数用字母X代替，列出等量关系式，解出X的问题。

【数量关系】方程等号左右两边是等量关系。

【解题思路】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

审：认真审题，找出已知条件和待求问题。

设：将未知数设为X。

列：根据已知条件，列出方程。

解：求解所列方程。

验：检验方程的等量关系及求解过程是否正确。

答：写答语，回答题目所问。

【例】甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？

解：设乙班有X人，则甲班有（90-X）人，

根据等量关系可以列如下方程

90-X=2X-30

解方程得X=40，从而得90-40=50

答：甲班50人，乙班40人。

题型二十二：错中求解

【含义】在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。

【例题1】小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还余52。正确的商是多少？

【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数，求出被除数：13×56＋52=780。所以，正确的商是：780÷65=12。

练习1：

1.小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是45。正确的商应该是多少？

2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32还余6，蜜蜜计算的结果应该是多少？

3.小虎在计算除法时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。正确的商应该是多少？

【答案】1.5 2.26 3.50

【例题2】小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。正确的商应该是多少？

【思路导航】根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48×10=480。

练习2：

1.小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了，得到的商是40。正确的商应该是多少？

2.小马在计算除法时，把被除数12800误写成1280，得到的商是32。正确的商应该是多少？

3.小欣在计算除法时，把被除数420错写成240，结果得到商是48。正确的商应该是多少？

【答案】1.4 2.320 3.84

【例题3】小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.这样商比原来多了3.而余数正好相同。正确的商和余数是多少？

【思路导航】因为被除数137被错写成了173.被除数比原来多了173－137=36，又因为商比原来多了3.而且余数相同，所以除数是36÷3=12。又由137÷12=11……5，所以余数是5。

练习3：

1.小军在计算有余数的除法时，把被除数208错写成268，结果商增加了5，而余数正好相同。正确的除数和余数是多少？

2.李明在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少了3.而余数正好相同。求这道除法算式正确的商和余数。

3.刘强在计算有余数的除法时，把被除数137错写成174，结果商比原来多3.余数比原来多1。求这道除法算式的除数和余数。

【答案】1.除数是12，余数是4

2.商是9，余数是9

3.除数是12，余数是5