同济高数有多难,学过的都知道

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  图源:孔夫子旧书网

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  学不懂高数,主要还是因为你打开的方式不对。 而教材作为帮你打开高数大门的指导手册,也难逃其咎。

  来源 | 浪潮工作室(WelleStudio163)

  “每所大学都有一种树,叫高数,树上挂了很多人。旁边有座坟,叫微积分,里面葬了很多人。”

  不论你们学校的校训是博学笃行,还是求实创新;不论你学的是理、工、商,还是农、医、军,高等数学是大部分大学生都绕不开的艰难课题。

  就连许多文科专业也要修《文科高等数学》,让许多历经高考以为终于摆脱数学魔爪的大学新生重回噩梦。

  “高数之难,难于上青天。”“上有极限无穷求解之心焦,下有积分换元求导之疯癫。”高数能把学生逼成诗人,在被它打败后依靠斗诗重拾生活的信心。[1]

  

  高数考试之后的人文学院 / 微博截图 @ 三生十里LGT

  当年叱咤NBA球场的姚明也难逃高数的魔爪。经过7年的努力终于从上海交大毕业的姚明表示:“在校读书的几年中,我不止一次想过退出,特别是在上高数课的时候……”[2]

  如果在中国上大学,你的高数课很可能使用的是同济版《高等数学》教材。不管是第五版、第六版,还是最新的第七版,总有一版能让你五味杂陈。

  

  这本中国大学生的绿皮书,足够成为无数人的梦魇 / 微博@青春矿大

  为什么大家都在用同济版《高等数学》呢?

  高数这么难,这锅该不该同济数学来背呢?

  01

  历史选择了同济数学

  一直有传言说,同济版的《高等数学》是中国发行量前三的书籍。这话不一定靠谱,但同济数学的发行量是真的大。

  据统计,同济《高等数学》已经发行了61年,总发行量超过6000万册[3]。几代大学生,都曾经夜不能寐,只为在考试前再多看一眼这本书。

  在淘宝网上搜索“高等数学教材”,按销量排序,前21名全部是同济版《高等数学》,销量仅次于同济数学的华东师大版《数学分析》,销量还不到第七版同济数学的十分之一。

  

  风光旖旎的同济大学,却诞生了如同恶魔之吻的同济《高等数学》 / 微博@同济大学

  而在京东网上,第七版同济《高等数学》有超过17万条评价,另外两套流行的高等数学教材华东师大版《数学分析》和北京大学版《高等数学》仅分别获得6300余条和5500余条评价。

  可见,同济版数学才是无人能敌的教材大佬。

  为什么这本教材如此流行,一大半的原因要归到历史上。

  50年代初期,中国高等教育“以苏联为师”、“向苏联学习”,高校教学全盘使用苏联的教学大纲。同济大学樊映川教授参考苏联教材编写的《高等数学讲义》,就成了新中国最早一批自编教材[4][5][7]。

  
樊映川所编的《高等数学讲义》,正是现在广泛使用的同济《高等数学》的前身。谁都会变,但高数不会,高数不会就是不会。

  当时,全国正进行院系调整,同济大学数学系被并入了复旦大学,同济数学专业仅保留基本的工科教学工作,数学系停办,直至1980年正式恢复[10][11]。

  编写适用于工科的高数教材,可以说是当时同济大学数学教员的主要工作之一。也是他们,为这本超难的高数打下了基础。

  占据了先发优势,又有优秀底本的同济数学,在之后屡次成为国家级规划教材[5],许多教师在选择教材时也会首先考虑同济版本。

  到了80年代中期,同济的《高等数学讲义》的发行量就已近1000万册[6]。

  

  《高等数学》教材出版61周年在同济大学举行,没有哪本教材能像同济《高等数学》这样,成为几代人的学习指南和失眠宝典 / 同济大学

  除了历史因素,一部教材的命运也与其学科特点息息相关。

  数学属于基础学科,从17世纪60年代牛顿、莱布尼茨创立微积分起,经过300余年发展,大学高等数学所涵盖的内容与知识点已十分完善。教材不需要快速更新,老教材往往更加经典。

  比如美国经典大学数学教材《Calculus and Analytic Geometry》自1952年首次发行,至今仍被世界各国高校广泛采用。而另一本现今美国大学广泛使用《Mathematical analysis》如今也有62岁高龄了。

  

  “如果你能考到60分,就可以当我男朋友。”连《小时代》都知道高数有多难考 / 小时代

  相比之下,有些学科的教材就很难如此“长寿”。

  比如同样是国家规划教材,清华大学版《Visual Basic程序设计实用教程》在2010年前还是许多计算机学生的必修教材,而如今,计算机专业的学生早就开始学习各种新语言[8][12]。

  02

  不是数学最强校,但有最强教材

  很多人会想,同济的数学教材这么厉害,那么同济的数学一定很牛吧?事实上,同济的数学专业实力在国内高校中并不算最强的,至少没有教材那么强。

  2017年,教育部根据师资、人才培养质量、科研水平等指标,对学科进行评估,同济数学专业仅获得A-,低于获得A+的北大、复旦、山大,以及获得A的清华、南开等其他9所高校[9][13]。

  另一方面,现在中科院数学相关院士有30人左右,所属院校包括北京大学、复旦大学、南开大学、清华大学等,没有一名数学专业院士在同济大学数学系工作,同济历史上也没有出现过数学院士[15]。

  由此看来,同济的数学系水平,还没有像他们编写的教材一样,占据全国龙头老大的位置。

  不过,这可能也正是同济数学能“流行”的原因。

  数学强校所编教材往往针对数学专业学生,理论性和难度更高,侧重方向也不同。

  比如同样涵盖极限、微积分、无穷级数、解析函数等内容,数学专业会使用更偏向推理证明的《数学分析》教材,而理工科专业使用的《高等数学》教材则偏向应用与计算。

  

  2018年9月9日,山东济宁,大学生在本子上密密麻麻写满了数学题和公式。除了少数艺术专业学生,几乎所有学生都要学习高数。

  事实上,就算是同济大学数学系的学生,现在使用的高数教材也并非同济出品,而是华东师大版的《数学分析》。

  北京大学、复旦大学、山东大学等数学强校的理工科专业都并未使同济版《高等数学》作为高数教材,而用是在使用本校的自编教材。

  很多数学专业非常厉害的学校,都自己编过数学教材,编写者不乏数学大师。

  在中国科技大学成立后,大数学家华罗庚教授、关肇直教授、吴文俊等教授都为学生上过数学基础课,并编写过专门的数学教材。

  

  20世纪70年代,华罗庚正在和助手讨论数学问题。这些大师也都曾编撰过高等数学的教材 / 中国科学院

  他们编写的教材不受统一教学大纲的限制,也没有传统意义下分析、代数与几何的严格分界线,是对前苏联教材的突破。但也由于其内容结构与传统教学大纲不一致,并未得到广泛使用[5]。

  严格按照教学大纲编撰的同济《高等数学》,却拥有了更多的受众。除了数学系的学生不学,其他大多数院校的大多数专业都要学。于是,这本教材也就顺带着难哭了一众大学生。

  03

  同济数学太难了

  就算同济版《高等数学》印得多用得广,很多人还是会抱怨听不明白。学不懂高数,这个锅该同济数学来背吗?

  其实高等数学的内容并不“高等”,它只是针对算数、初等代数、初等几何等“初等数学”相对而言的,而且都是一些老古董。

  现在大学高等数学教材所包含的极限、微积分、解析几何、向量代数、无穷级数等内容,基本都是17世纪中期到18世纪末这段时间里产生并完善的[16][17]。

  当时世界的数学水平大概就刚刚达到现在的高三水平。所以高数的内容对于大部分刚考上大学的学生来说难度应该刚刚好。

  

  2018年6月4日,黔东南某高中高三学生在堆满书的教室里上晚自习。他们肯定没想到,能应对高三数学,却应付不了大学数学。

  学不懂高数,主要还是因为你打开的方式不对。而教材作为帮你打开高数大门的指导手册,也难逃其咎。

  由于历史原因,中国大学的数学教材,使用的是前苏联的教学模式和知识体系。苏联模式的数学教育,追求学科内容的系统性和完整性。因此教材内容大而全,而且所有内容一定要求严谨。

  比如在同济版《高等数学》中,编者把“极限”这个概念当做微积分的基础介绍给学生,但其实“极限”的定义是在牛顿、莱布尼茨发明微积分100多年后才创造的。[16]

  

  如今被各种理工骚客用来表白的心形公式,实际上对17世纪的人来说还很陌生,传闻说笛卡尔通过心形公式表白,也更像是后人的牵强附会。

  编者为了保持定义的准确和完整性,打破了学习数学循序渐进的规律,也过早地将最抽象最晦涩的部分硬塞给了学生,使学生失去了探索的乐趣。

  这就好比一个新手玩家在跳伞吃鸡之前,先让你记住所有武器的杀伤力,所有交通工具的速度值,所有资源点的位置图,然后才能开始游戏。

  虽然这可能对你早日吃鸡有帮助,但更有可能的是,你因为记不住那么多参数信息,决定放弃这个游戏。

  举另一个例子:

  在讲解导数时,同济数学先给出了导数的定义,然后通过定义直接给出了f(x)=x的导数公式。这实际上并不符合数学知识的产生过程。

  

  第六版同济《高等数学》,在给出导数的定义后,就通过数学计算,得出了幂函数的导数公式,虽然准确,却失去了让同学们自己推导猜想的过程。

  事实上,研究数学的乐趣就在于由特殊到一般,由猜想到证明的过程。这就是为什么哥德巴赫、黎曼等数学大佬如此热衷于提出数学猜想,而其他数学大牛如此热衷于证明这些猜想。

  如果没有猜想,只是根据教材学习数学,那就成了背定义套公式。而我们很多人,在学习高数时,就是这么背过来的。

  相比而言,一些经典的欧美教材在这一点上就做的就比较好。比如在美国经典教材《Calculus》中,作者先教学生计算f(x)=x、f(x)=x的导数,再逐渐进行猜想推导。

  这样,学生不仅学会了导数的定义和证明,也学会了通过寻找规律总结数学结论的能力。

  大家很难理解高数,也是因为我们不理解那些抽象的数学概念与现实生活的联系。这也是同济版《高等数学》存在的一个问题。

  

  理解不了数学概念那我们就死记硬背好了 / bilibili @2019更努力

  比如在介绍自然对数底数e的时候,同济高数通过计算(1+1/n)的极限来引出这个重要的数学常数。但这个约等于2.718的无理数跟我们有什么关系,书中却没有介绍。

  而在美国《Calculus》中,就会用在银行存款最多能收到多少利息的例子来引出e的概念,让学生意识到数学与现实生活的关系,对数学产生浓厚的兴趣。

  这种例子在一些欧美经典教材中还有很多。但是在同济数学中,你却很少能看到,也难怪你不理解数学里的那些符号都是什么意思。

  

  数学系少女黑岛用自己擅长的数学来计算自己的交际关系 / 日剧《轮到你了》

  所以,下次要是再被问,高数怎么老是学不会,你就可以说:是因为同济数学太难了。

  但再想一下,到了大学,没有老师再针对一个知识点反复讲,课后也顶多布置一下书本上的练习题,上课时你就晕晕乎乎,课后又不加练习,学会高数当然更难了。

  这时候你就不能只怪同济数学了,还得怪自己。

  参考文献:
[1] 文科生期末考试后吐槽高数:高数之难 难于上青天 [2] 不易!姚明上海交大本科7年终于毕业 感慨:上高数课我也想过退学 [3] 传承经典 再创辉煌——同济大学《高等数学》出版61周年座谈会隆重召开 [4] 马知恩.工科高等数学课程教学改革五十年[J].中国大学教学,2008(01):11-16. [5] 我国大学数学课程建设与教学改革六十年 我国大学数学课程建设与教学改革六十年课题组 高等教育出版社 [6] 缅怀先生精益求精奉献精神 全面提高工科数学教学质量 殷俊峰 教育部高等学校教学指导委员会通讯2012年第8期(总第111期) [7] 同济大学《高等数学》出版61周年座谈会举行 科学网 [9]全国第四轮学科评估结果出炉:数学学科高校排名 中国教育在线 [10] 中国高等院校1952年院系调整 [11] 专业介绍 同济大学数学科学学院 [12] Matthew MacDonald The Rise and Fall of Visual Basic [13] 全国第四轮学科评估结果公布 中国学位与研究生教育信息网 [14] 严冬梅.高等数学课程教材分析[J].牡丹江大学学报,2012,21(07):167-169. [15] 全体院士名单 中国科学院学部 [16] 微积分学 wikipedia [17] 十八世纪的数学 数学博览馆

  — THE END —

  本文选自浪潮工作室(WelleStudio163),灼见经授权发布。

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