“对数”的发现让数学家不再苦恼于复杂运算,但计算机又后来居上

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“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。”(伽利略)

  1946年,ENIAC的问世宣告电子计算机时代的来临.ENIAC是为了满足美国奥伯丁武器试验场弹道计算而研发的. 该计算机惊人的运算能力使得数学家们“受宠若惊”,要知道在这之前的几百年间,进行复杂的计算还不得不依赖基于 “对数表”的手工计算.

  

  这是一次革命性的尝试,就像16世纪对数的发明一样,它们都改变了人们对于计算的认识,并使运算变得比之前更容易.那古人是如何进行数学运算的呢?看一个简单的例子:

  

  16世纪以前人们只能依靠纯粹的、大量的复杂乘除/开方运算,这样会耗费他们很多的时间。有没有方法可以简化“乘除/开方”运算呢?三角学在古阿拉伯时期已经发展成熟,数学家们经过探索自然能发现:“积化和差”公式可以将“乘除关系”转化为“加减关系”.这是一个很好的想法,因为加法运算比乘法运算要好算得多。

  

  但这样一个公式并没有被普及开来,虽然当时对于三角函数的运用已比较娴熟,但是无论对于寻找原函数、还是涉及到多个乘除运算时,这样的公式都很复杂.

  不同的人对于不同的事物有不同的理解,“积化和差”公式到了16世纪苏格兰著名数学家纳皮尔这里却成了宝贝。他不照搬公式但洞穿了这个公式的本质——“乘法”变“加法”,并将其运用到自然级数与几何级数的对应关系上.

  

  为了更好理解纳皮尔的想法,我们先来看一个朴素的想法:

  如果要计算8*32=?。如表一,

  我们只需要找到8所“对应”的指数3

  及32所“对应”的指数5,

  并将其相加得到3+5=8

  再返回去找出8所“对应”的幂256.

  就可得到8*32=256.

  

  再来一个难度大一些的,我们要计算

  59049*1594323=?

  如表二,注意到59049“对”的指数为10,

  1594323“对”的指数为11,

  两者相加10+11=21,

  再找到21“对”的幂为10460353203.

  因此59049*1594323=10460353203.

  

  从上面两个例子我们可以看到,这样一个“对应”的计算方法可以巧妙的将“乘法”变“加法”,进而大大简化了运算。而且计算的关键在于制作类似上面的这样一张“表”.将一个数与它的幂相“对应”,但是不同的底会有不同的计算方式,如何选择一个高效实用的底数呢?

  应该以那个数作为底?纳皮尔思之再三,最后决定:为了使得幂增长较快,并尽量避免小数的出现,他选择了1-1/10^7,即0.999 999 9。并从10^7开始,依次计算得到

  作为第一张表. 紧接着,以1-1/10^5等为底又继续作了另外3个表.这样的4张表合在一起,形成了数学史上第一份“对数表”.

  

  就是这样一份简单的“对数表”,纳皮尔却用了整整20年时间。很不可思议吧,身在21世纪的我们简直无法想象:仅用最简单的工具——纸和笔,是如何完成这样一份高强度、精度又高要求的工作的.这让我想起了我国著名数学家祖冲之将圆周率π计算到小数点后7位,网上很多人说这有什么了不起的,国人就喜欢拿领先世界几百年说事,但真的是这样的吗?

  

  “哥伦布的鸡蛋”告诉我们,不要用我们现在的思维理解过去的事情,因为我们之所以觉得很简单,是因为发现者已经告诉了我们是这样的,但如果现在它仍然悬而未决,我们就知道自己的无知了。

  对纳皮尔我们应该以十分严肃的态度表示尊敬,他对计算进行了彻底的改革,这一改革以迅雷不及掩耳之势传遍欧亚. 作为东方霸主的大清帝国,18世纪初也在东方传教士的传播中知晓了“对数”的运算法则,并予以翻译为“对数”。

  

对数(logarithm)愿意为“比数”,即等比数列各项中公比的次数.清代传入我国后,根据《数理精蕴》下篇卷38记载:“对数比例,乃西士纳皮尔所作。以假数与真数对列成表,故名对数表....”

  纳皮尔的“对数表”很精细,但是这样一个对数系统不利于性质的研究.比如我们熟知的对数运算定理(乘积的对数等于各自对数的和)就不成立.

  

  尽管尚有不足,但是纳皮尔的“对数表”一经发表就受到狂热的追捧,很多天文学家(如开普勒)从中受益。而当时英国的著名几何学教授布里格斯(Henry Briggs,1561-1631)闻讯后更是亲自拜访了纳皮尔.建议使用10代替1-1/10^7作为底数,并将1的对数值定义为0(注意到,纳皮尔对数系统中,10^7的对数值为0).这就相当于N=10^m(或,m=lgN).

  

  这样的改变使得对数更简洁适用,让纳皮尔没有办法拒绝。紧接着布里格斯便开始编制这样的新对数表,并于1624年发表在他的《对数的算术》一书中,此表300多年来只被改动了一点点,并一直延用到21世纪.

  有了对数表,现在让我们一起来解决前文提出的问题:

  

  首先,两边取对数,得到

  

  查表得到:lg493.8=2.6935, lg23.67=1.3742, lg5.104=0.7079.计算得到lgx=1.578. 再次查表得x=37.84。 这里使用“对数”求解的优势在于:顺理成章的将乘法变成了加法,3次根式变成分数1/3,大大简化了计算过程。

  以上过程是纳皮尔时候对数系统的解法吗?很负责人的告诉你,不是。对数诞生于16世纪,经过17世纪的发展,但要直到18世纪(1727年)才成为了现在的样子. 这依旧归功于我们常提起的著名数学家欧拉.

  

  对数和指数是独立的个体吗?它们之间有没有更密切的关系?大神欧拉告诉我们,对数与指数具有互逆关系。用符号表示为:

  

  对数的发现先于指数,但同时“对数又源于指数”。两者为不可分割的整体。

  1617年之前纳皮尔发现了“对数”,1637年法国数学家笛卡儿提出了“指数”的概念,1770年欧拉将这两者完美统一,到现在“对数”已从计算的工具逐渐延伸到数学多个领域(如酸碱度PH值、人口模型等),成为了研究数学的必不可少。

  

  对数因计算而生,随着电子计算机的普及,对数之于计算的核心位置已渐渐被计算机所替代,但对数并没有因此而消亡。正如Maor在《e的故事——一个常数的传奇》中所说:

  

就算对数失去了在计算中的核心地位,对数函数仍然是几乎所有数学分支的核心,无论是纯数学还是应用数学,它出现在从物理学、化学到生物学、心理学、艺术和音乐的各种实际应用中。

  参考文献:

  [1]. Eli Maor. e的故事——一个常数的传奇.人民邮电出版社.2010.7

  [2]. 汪晓勤.HPM:数学史与数学教育.科学出版社.2017.5

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