只能用纸笔才能计算圆周率?蒲丰告诉你,投针游戏也可以

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  自从很久以前人们发现了存在圆周率π这个神奇的数字之后,便费尽一切心力来计算这个值。在那个数学工具比较匮乏的时代,人们能够做的就是根据圆周率的定义来计算。历史上,东西方几乎在同时发现了割圆术,虽然细节上有所不同,但是大致思路都是一致的。其实说不上巧合,割圆术是最基础的求π方式。我们常人可能觉得把这个圆周率求到小数点后几位就够了,像祖冲之那样的大神能够求到小数点后7位,已经是拥有超越常人的意志力和计算力了。其实在微积分到来之前,有人用割圆术把圆周率求到了极致。

  

  鲁道夫·范·科伊伦

  大约1600年,荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦利用两千年前阿基米德创立的割圆术,耗尽一生心血,计算到了262 边形。你没看错就是这么多边形,得出圆周率小数点后35位,也就是3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288。这个数字也叫鲁道夫数,后来他去世,墓碑上刻上了这个记录他一生成就的数字。

  

  鲁道夫墓碑上的数字记录了他一生的成就

  后来,数学界终于迎来了微积分这一最重要的数学工具,于是,人们的眼界一下子被打开了。

  有无穷级数的加持,你会发现,几乎每个无穷级数后面都会跟着一个π。比如,大名鼎鼎的莱布尼茨曾经发现过一个级数,看起来相当简单。

  

  大神莱布尼兹

  

  引以为傲的莱布尼茨级数

  如果让微积分时代以前的人们看到这个公式肯定会惊讶异常,这个真的可以求出圆周率吗?当然可以,这个神奇的级数其实是来自下面这个简单的几何数列。

  

  莱布尼茨级数的证明

  可能很多同学都会觉得,有了无穷级数和微积分,这个求π的方法到处都是,已经没有了之前的高冷感了。甚至会觉得有了这些五花八门的公式,求π已经是毫无技术含量的工作了。没有技术含量,意义也不再那么明显了。你要说现代人们用超级计算机来反复求π值是为了检测计算机硬件以及算法的效力的,在那个时代,计算只能靠人工的时代,这种枯燥无味的事情有谁会去做呢?

  数学家们不会因为这种枯燥无味的工作就停止对π的研究,不禁又在想着歪心思,求π就一定要人工计算吗?有没有一种算法可以不用去计算那些繁杂的级数,直接得到圆周率呢?

  

  数学上想要的工具大部分都被发明出来了

  其实翻看数学研究的历史,你会发现,数学家想要的工具还真没几个是发明不出来的。全新的求圆周率π方法就是如此。

  在1777年,有一位大神站出来说,我可以不用纸笔计算就可以得出圆周率,众人当然不信,直到他把自己的方法以及证明亮出来。人们终于相信了这一套圆周率的求法是正确的。

  18世纪,法国数学家蒲丰做了这个著名的投针实验,与其说实验,不如说是游戏。

  

  法国数学家 蒲丰

  在一张比较大的纸上有一簇间距为t的平行线,用一个长度是l的针 ,此时用针随机地投向这张纸,那么针与平行线相交的概率就是P=2l/tπ。这里出现了π。

  如果大家有兴趣,可以自己来做下这个实验,统计一下随机投针之后与平行线交叉的概率是不是满足蒲丰提出的这个公式。历史上,有很多人都做过这样的实验,几百次到几千次不等,而最后的统计事实也证实了这个公式的正确性。甚至到了20世纪初,还有人痴迷于这个实验。我们这里当然不会枯燥地重复这个投针过程,只是准备从根本上来解释,为什么投针的次数统计就会跟看似毫不起眼的π打上交道。

  

  投针实验

  想要弄清楚这里的原因,首先我们要了解两个预备知识。

  概率密度函数

  密度,这是一个物理学上基本的单位,也是物质的一种属性。比如我得到了纯铁块,我只要测量一下这个铁块的体积,然后再根据铁的密度,就可以算出这块铁的重量。反过来,我先测量出铁块的重量,根据密度值,也可以算出铁块的体积。在数学上,人们在研究密度问题时,引入了这个概念,相当直观形象,表达了某种情况下特定事件发生的概率。

  举个例子。

  

  最简单的概率密度函数——均匀分布

  在[1,10]的区间内任取一个数a,那么a刚好在[2,5]之间的概率是多少?

  很明显,a在整个取值区间内的分布都是均匀的,也就是说,a在区间内的任何位置被取到的概率都是相同,既然在任一点被取到的概率相同,那么[2,5]整个区间被取到就不具备特殊性。因此,这里a刚好在[2,5]之间的概率就是(5-2)/(10-1)=1/3。这是一个显而易见的结果,我们把这种分布叫作均值分布,均值分布也是最简单的概率密度函数。

  那么复杂一点的概率密度函数呢?众所周知的正态分布,也是一种概率密度函数。

  

  正态分布也是一种概率密度函数

  我们不必去研究这个密度函数是怎么得来的,大家应该都有印象,在[-σ,σ],[-2σ,2σ],[-3σ,3σ]的概率值都是固定的。实际上我们把上面那个正态分布密度函数在这3个区间上求积分,就得到了相应区间对应的概率值了。

  

  正态分布在一定区间内的概率是固定的

  独立事件的概率

  这个概念其实很好理解,任何两个事件的关系无非就是3种,要么两个事件之间有联系,一件事情的发生会影响到另一事件。比如,你在雨天淋湿了身体,就有可能导致你感冒发烧,虽然这种关系不是非常直接,但是我们认为二者之间是存在一定关联的。要么就是两件事件之间没有任何关系,一件事情的发生完全不会影响到另一件事的开展,这就叫独立事件。比如,晚上我在家吃了一个西瓜,和我明天要上班,两个事件是没有任何关系的。要么就是两件事不可能会同时发生,每次最多只会发生其中的一件。比如,我今天是开车去上班的,和我今天是骑行去上班的。同样的上班时间段,你只能至多只能选择一种交通工具。

  

  掷2枚骰子

  那么独立事件同时发生的概率是多少呢?假如我们手上有两粒骰子,一次性掷下去,请问出现两个6个概率是多少?这里两个骰子出现的点数就是独立事件,一个骰子的点数多少完全不会影响到另外一颗骰子的点数。于是两个独立事件A,B同时发生的概率就是

  

  独立事件发生的概率

  所以两粒骰子同时出现6的概率就是1/6×1/6=1/36。

  好了,我们已经做好了全面理解蒲丰投针求圆周率的必备知识了,接下来,我们就将完全理解他这么做的理由。

  

  蒲丰投针原理图

  x为针的中心和最近的平行线的距离,θ为针和线之间的锐角。在这里,我们发现了两个独立事件,x与θ的取值之间没有关联。

  其中x在[0,t/2]均匀分布,密度函数为2/t;θ也在[0,π/2]上均匀分布,密度函数为2/π。所以两个独立事件同时发生的概率就为:

  

  我们观察一下上面的投针简图,什么情况下,针才会与平行线相交呢?这里只考虑针长l小于平行线间距t的情况。通过观察,我们容易发现,当x≦l/2×sinθ时,针就与平行线相交了。

  至此,所有准备工作都已经结束,我们可以直接得出概率计算公式了。

  

  针与平行线交叉的概率公式

  大家千万不要被这个二重积分吓到了,这里只相当于是两个独立事件概率相乘。至于看起来为啥这么复杂,我们不去讨论细节。当年蒲丰就是这么得到这个计算结果的。特别的,如果针长和平行线间距一样,那么上面的式子就可以进一步化简,于是

  

  这里的相交概率P只要通过反复做实验,做出统计即可,这是一个毫无技术含量的工作。但是从这个工作里却可以真实地得到π的值,这可就有点不可思议了。虽然,蒲丰的方法无懈可击,但是人们还是不太相信,于是开始了用实践来检验这个真理的行动。很多人做过的投针实验都留下了确切的记录。

  

  历史上的著名投针实验结果记录

  这里必须要提一下1901年,Lazzerini做的投针实验。针长0.83,平行线间距1,他一共做了3408次,其中相交此次数为1808,最后得出π的值为3.1415929。这是一个令人咋舌的精准值!与祖冲之费尽千辛万苦得到的密率355/113完全一样,虽然很多人怀疑这样精准的数值的可信度,但是上述的几次著名的投针实验,依然无可辩驳地证明了,蒲丰投针求圆周率的正确性!

  

  蒙特卡洛方法求解圆周率

  蒲丰投针给人们带来离开全新的求π的算法,人们不再拘泥于繁杂的数学计算。换种思路同样有效,这是历史上第一个用几何形式来表达概率的例子,蒲丰巧妙地把概率计算引入到对于平面几何的处理上来,使得求解过程变得相当直观易懂。而蒲丰投针的最重要的贡献是给出了一种利用随机数来模拟确定或非确定计算的思想,这也是现在人工智能领域里最基础的算法——蒙特卡洛算法的雏形。

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徐晓亚然

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