霍金系列之二：面积不减定理与引力波辐射

【面积不减有奇点，霍金辐射无边界】

在上一篇介绍了奇性定理，这篇应该来讨论面积不减定理了。

在霍金于彭罗斯共同发表奇性定理的次年，即1971年，霍金独立提出了他的一个关于黑洞的重要理论——当任意物质落入黑洞时，黑洞的视界表面积永不减小。我们现在一般称之为面积不减定理或黑洞面积定理。

霍金指出，当黑洞视界形成以后，任何落入黑洞视界的物质在任何情况下都不会使其视界面积减小，这其中就包括了一个黑洞掉进另一个黑洞的情况。其实在黑洞提出之初，根据广义相对论，黑洞视界内就不会也不能向外产生任何电磁辐射，因此它不会像恒星一样通过电磁辐射损失质量，即使有物质落入时也不会（我们常听说的黑洞X射线源比如天鹅座X-1的X射线其实是在视界外发出的）。但根据广义相对论，当两个大质量天体趋近并互相环绕时，会产生引力辐射，即大家常提到的引力波。而引力波是携带能量的，因此在两个黑洞互相环绕并最终合并的过程中，将通过引力波辐射出巨大的能量，换句话说就是巨大的能量将被引力辐射带走。那么问题来了，两个黑洞合并过程中，会因巨大的引力辐射失去大量质量从而导致合并后的黑洞视界表面积比合并前的两个黑洞总表面积更小吗？霍金证明——不会！

也就是说霍金证明了即使在双黑洞合并过程中，产生巨大引力辐射的情况下，黑洞的视界面积依然不会减小！而这么一来，将对双黑洞合并时所产生的引力辐射能量做出了限制，也就是双黑洞合并的引力波辐射能量会有一个上限。（关于引力波如何携带能量这个问题我会专门写一篇相关文章，欢迎关注）

那么霍金这个结论是怎么得到的呢？为什么引力辐射的能量会有上限？这个问题我从来没有在任何一本科普书上看到过答案，但是霍金的论文里其实已经给出了原因——自然界不能产生裸奇点！

对于一个自旋速度足够快的克尔黑洞，当它的自旋速度超过一个阈值，它的视界半径就会收缩到足够小而奇点（即克尔黑洞的奇环）半径将扩张到足够大，导致奇点裸露在视界以外，由于奇点的奇异特性（我在上一篇文章里已经介绍过，没看上一篇文章的读者可以翻看《霍金理论系列之一：奇性定理》），它将破坏外界宇宙的因果律，所以一般认为奇点是不允许裸露在视界以外的。这样，就导致黑洞的自旋速度必须有一个上限。而一对互相绕转最终合并的双黑洞，它们最终会黑合并成一个高速自旋的克尔黑洞，最终合并后黑洞的自旋速度与双黑洞的自旋角动量和绕转时的公转角动量有关，那么这样就得到一个结论，当两个自旋角动量均为0的黑洞合并后的自旋角动量必须低于某个值以保证最终合并后的黑洞不产生裸奇点，它们合并前的绕着速度就必定有一个上限，而双黑洞的质量和合并前的绕着速度决定了引力波辐射的强度，绕转速度有上限就意味着黑洞合并时引力波辐射的总能量（质量）相对于黑洞总质量的占比必定有一个上限。而根据计算，这个上限大约是黑洞总质量的29%左右，也就是说两个总质量为100个太阳质量的双黑洞合并时辐射的引力波总能量将不超过29个太阳质量。这是个很恐怖的数值，想想太阳在整个主序星阶段（约100亿年）氢聚变过程中辐射掉的质量才7‰左右……

人类至今探测到的双黑洞合并辐射的引力波带走的质量都没有超过这个上限值。比如2015年9月14日LIGO探测到的第一次双黑洞合并引力波事件中，一个36个太阳质量的黑洞与一个29个太阳质量的黑洞合并成一个62个太阳质量的克尔黑洞，最终在不到一秒的时间内辐射出大约3个太阳质量的引力波，而辐射的引力波质量占比为3/(36+29)≈4.6%，离辐射强度上限还有挺大距离的，这已经是已知辐射强度最大的一次了，因此可以说霍金的面积不减定理已经被实验证明了，可惜这个理论的含金量不足以使霍金获得诺贝尔奖。

等等，我们只说了引力波辐射能量的占比，并没有证明面积不减啊，那我们就用这些质量算一算就知道了。

根据史瓦西半径公式，黑洞质量与视界半径成正比，而根据球面积公式，球面积与球半径的平方成正比，这样，我们实际上可以直接用质量代替半径来计算球面积：

得到36个太阳质量黑洞的球面积为16286，29个太阳质量黑洞的球面积为10568，合并后的62个太阳质量黑洞的球面积为48305。而16286+10568=26854<48305，很显然没有违背面积不减定理。那么我们来算一下极限引力波辐射能量下的视界面积：

我们用两个50个太阳质量的黑洞，加起来刚好100，同样总质量下，两个相同质量黑洞所能产生的引力波辐射强度是最大的。结果是50个太阳质量黑洞球面积31416，按29%的极限能量释放即剩余71个太阳质量黑洞的球面积为63347，31416×2=62832<63347，结果还是没有违反面积不减定理。而假如能量释放超过29%,面积不减定理将被违反。

虽然面积不减定理限制了引力波辐射强度的上限，但它依然是自宇宙大爆炸以来宇宙中最强的能量释放，第一次双黑洞引力波事件1秒内释放的能量超过可见宇宙释放的总能量数百倍！！！

值得一提的是，面积不减定理被认为是黑洞热力学的第二定律，对应经典热力学的熵增定律，关于黑洞热力学的内容以后有机会再专门写一篇文章介绍吧。