基本图形分析法：详细分析直角三角形斜边的中线问题（六）

【分析方法导引】

当几何问题中出现了直角三角形斜边上的中点时，就应想到要应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明。接下来就应将斜边上的中线添上。进一步的分析就是：若斜边上的中点是条件，则直接推得斜边上的中线等于斜边的一半，并可直接应用两等腰三角形推得角之间的等量关系。若斜边上的中点是要证明的结论，则应转而证明要证相等的这两条线段都和这条斜边上的中线相等，也就是转化为等腰三角形的判定问题或者也就是证明角相等的问题。进一步也就是应用线段相等与角相等之间的等价关系来完成分析。

当几何问题中出现了线段之间的倍半关系，且倍线段是直角三角形的斜边时，就应想到要应用直角三角形斜边上的基本图形进行证明。接下来就应将斜边上的中线添上，得到这条斜边上的中线等于斜边的一半，和相应的角之间的等量关系和倍半关系，问题就转化成要证明问题中出现的倍半关系中的半线段与这条斜边上的中线相等。

当几何问题中出现了两个角之间的倍半关系，且其中的半角是一个直角三角形的锐角时，就可想到要应用直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明。接下来的问题也是将斜边上的中线添上，然后可应用两个等腰三角形的顶角的外角等于底角的两倍的性质来完成分析。

例11 如图3-228，已知：△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上的一点，以BD为直径的半圆交AB于E，且CE=1/2BD。求证：∠CDA=3∠CBA。

图3-228

分析：由BD是半圆的直径，就可应用半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明。现在图形中是有直径，有半圆上的点E，而没有圆周角，故应先将圆周角添出，即联结DE(如图3-229)，就可得∠DEB=90°，于是条件中出现的线段之间的倍半关系CE=1/2BD中的倍线段BD就成为直角△BDE的斜边，从而就可以应用直角三角形解边上的中线的基本图形的性质进行证明。但图形中这条斜边上的中线尚未出现，所以联结OE，得OE=1/2BD(如图3-229)，这样又可进一步推得CE=OE，这是两条具有公共端点的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形，应用等腰三角形的基本图形的性质就可得∠ECO=∠EOC。而根据直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质，又可得∠EOC=2∠B，所以就有∠ECO=2∠B。又因为条件中给出B、D、C成一直线，所以结论中出现的∠CDA就成为△ABD的一个外角，那么应用三角形外角定理就可得∠CDA=∠DAB+∠B，而要证的结论是∠CDA=3∠B。将两式进行比较，可得问题转化成为要证∠DAB=2∠B，也就是要证∠DAB=∠ECD，这样问题就成为要证A、E、D、C四点共圆。而由条件B、E、A成一直线，∠BED=∠ACB=90°，就可以证明这个性质，分析也就完成。

图3-229