生活在更多的维度里|混乱博物馆

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  这个物质世界慷慨地滋养了我们的躯体,但也残酷地囚禁了我们的想象。高维空间是什么样子?这恐怕是所有科学幻想中最无法满足的那一类了。

  根据不同的定义,你或许接触过许多遐想高维空间的方案,在本期混乱博物馆里,我们首先会从纯数学的角度了解高维度的欧氏空间,随后讨论两种非常现实的高维空间——一种来自艰深的理论,一种来自广阔的视角。

  


  -文字稿-

  额外的时空维度是当代科幻故事中最热衷的话题,无论《星际迷航》里的曲速率引擎,抑或《星际穿越》里的五维空间,都是这个样子——这也是20世纪之后的独特幻想,也是今天最难满足的幻想。

  “人类不可能想象没有经验过的事物”,我们寓居的这个三维空间禁锢了我们的眼界,即便道行最高深的数学家也不能想象高维空间里发生了什么,我们只能像柏拉图洞穴寓言里的囚徒一样,从高维事物的投影和特性中管窥蠡测。

  这种侧面构想的方法很多,最常见的做法是借助计算机观察投影,就像三维物体会在二维空间留下二维的投影一样,高维物体也会在三维空间中留下三维的投影:一个三维的球体从一个二维平面穿过,会投影出一个先增大后减小的圆;同样,一个四维球体从我们的空间中穿过,也会投影出一个先增大后减小的球。

  但如果是四维空间的多面体穿过我们的空间,就会留下一些万花筒似的复杂形体——经过计算,我们知道四维空间一共有6种正多胞体:5个正四面体围成的正五胞体,8个立方体围成的正八胞体或者叫超立方体,16个正八面体围成的正十六胞体,24个正八面体围成的正二十四胞体,120个正12面体围成的正一百二十胞体,还有600个正四面体围成的正六百胞体——显然,即便投影也不能帮我们想象得多么清楚了。

  这样高度抽象的数学概念,给我们留下了一种“高维空间在现实中并不存在,纯粹是数学家的想象”的印象,不过事情恐怕比我们想象得还要复杂一些——如很多人已经听说过的,我们可能生活在一个多达11维的宇宙中。

  这是为了调和广义相对论和量子场论的一种尝试:广义相对论极其成功地解释了大尺度上的万有引力,我们不久前观测到的引力波就对它做出了精彩的验证;量子场论则精确地回答了强力、弱力、电磁力,其它三种基本力在微观尺度上的来源:粒子是场的激发态,它们互相交换媒介粒子而相互作用。

  但是这两种理论并不统一,如果在空间中的一个点上结合二者,就会算出现一些无穷量的糟糕结果——而弦论就是一种候补的弥合理论:粒子并不是无体积的质点,而是一些振动的弦,自然就不存在无穷量的问题了。经过更详细的计算,弦论几乎完美解决了一大批高能物理难题——但是这样一根弦的运动太复杂了,三维空间放不下它,必须有多达9到10维的额外空间,这样的空间常用一个卡拉比-丘成桐流形描述,如果你是欣赏3D立体画的高手,就能从现在的画面中看到这个流形在3维空间中的投影。然而这个高维空间的大多数维度都蜷缩起来,在宏观世界里观察不到,我们只能想象在足够小的尺度上,会突然进入一个11维的奇妙世界。

  另一方面,并非只有物体存在的空间才有资格被称为“真实”的空间——所谓空间的维度,就是指能在空间中找到多少个独立的“坐标”。

  就以如日中天的人工智能学来说,我们经常会训练一种人工神经网络,识别各种复杂的符号、图形甚至声音,其中处理的向量可以拥有成百上千坐标,从实践上讲,这就是在长宽高之外,将颜色、形状、明暗、连通性等等变量都看作可变的维度,综合成了一个超高维度的空间——我们可以说,AlphaGo就是在一个高维空间里找到了惊奇的走法。

  同样,在进化上,我们还会研究一种“适应度地形”——就是把生物的各种基因当作坐标,并以生物对环境的适应程度作为一个高度,由此绘制出一个如同地形图一样的景观——显然,一个生物拥有的基因数量数以万计,在这个意义上讲,真正的进化之路绵延于一个上万维度的超级空间中,我们观察到的种种进化规律,都是这个超级空间在4维时空里浮光掠影而已:比如我们会提到一种“中性突变”的概念,就是因为维度越高的空间越容易形成鞍点,地势平坦,自然选择迷了路,因此停滞下来。

  

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