非欧几何的历史

文人笑谈

人们都说，凡事要往前看。"水往低处流，人往高处走"。世间那么大，不过苟且而已。何必计较过去呢。

在下，倒喜欢过去，自己咀嚼点历史，自娱自乐，颇喜欢舞文弄墨，不喜欢动刀动枪。身为文举人，不料一朝跌足，滚进了数学大门，这可是理科生的天地。满眼望去，拓扑、测度、流形、泛函……到处打打杀杀，你方唱罢我登场。

某日，一四眼仔青年，手抱着Advanced Mathematics，看着我，"小子，你懂数学嘛？"若在往日，总要斯文一点，不必就打将过去，"你是大个，你懂数学史嘛？"于是，画个圈圈，把陈年旧事一一过目，而且细嚼旧账。

在下，就想谈谈非欧几何。因为，四眼仔就是学这个的。我要把陈年烂谷子的事都找出来，而且还要大加赞美他的祖师爷，看看如今的徒子徒孙是如何不争气的。因为，四眼仔从来就不想久待，他说，不过混碗饭吃。可是，他也渐渐不想吃数学这碗饭了。他说，学金融，更好赚钱。

图1

那么，我便当着四眼仔的面，谈谈非欧几何。听我说：

非欧几何的提出者，有四个人，有高斯老爷、波尔约兄弟、罗巴切夫斯基大叔，还有黎曼少侠。我们说的非欧几何一般是指罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行定理。比如下面：

欧氏几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 罗氏几何： 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行。 黎曼几何：过直线外一点，不能做直线和已知直线平行。

然而，或许令大家失望，在这里，我不想大谈非欧几何的高深莫测，不是谈不了，因为那可能就随了四眼仔的意。他说，抽象的东西就是抽象，至于历史，我们只需要知道结果就行了。为了不让他好过，我下面就谈一谈历史。

不过在此之前，请允许我先抛块砖。

图2

00抛砖

有一个现象：在科学中经常发生这样的事，在科学中的一些成熟了的结论几乎同时地和独立地为不同的学者所获得。

看到这句话，我很受感动。我最早是在一群苏联数学家写的书上看到的。这不禁让我想起：当年牛顿和莱布尼茨同时发展了微积分法；达尔文宣扬的"人是由猴子进化而来"的学说同时被华莱士所获得；与爱因斯坦同时建立相对论原理的还有数学帅才庞加莱。 我还可以举出很多这样的例子。它们再一次地证明了，科学的发展必须通过已经成熟的问题的解决，而不是通过那些偶然的发现和猜测。

图3

我要说的是，发现非欧几里得几何的可能性有好几个几何学家：罗巴切夫斯基、博耶、高斯，当然还有其他几个数学家。

然而，在科学中并非所有获得新成果的学者在确立这种新成果时都起着同样的作用，因而不能给他们以同等的功绩。这时还要考虑到时间的优先性、结论的明白性和深度、成果产生的顺序和根据。无论史威卡特还是塔乌里努斯，都没有确信几何学的合法性。而在现在这个情形里，这正是有决定意义的，尤其因为萨克利和兰贝尔特已经得到过新几何学的一些个别的结论。高斯老爷虽然好像有了这种确信，但是并未如此地坚持这种确信，以致于不肯冒险把它发表出来。

图4

那么还没有一个深思的和多才的数学家，能像罗巴切夫斯基大叔所做的那样，勇敢地坚持了新的思想，以致于在数学中引起了革命。在这一点上，高斯老爷是那个时代的德国知识分子的典型代表者。

01高斯

高斯老爷是当时数学界首屈一指的数学巨匠，负有"欧洲数学之王"的盛名，早在1792年，也就是罗巴切夫斯基大叔诞生的那一年，他就已经产生了非欧几何思想萌芽，到了1817年已达成熟程度。他把这种新几何最初称之为"反欧几何"，后称"星空几何"，最后称"非欧几何"。但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，会因此影响他的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中。

图5 高斯

是的，他没有发表有关非欧几何的任何著作。我们所知道的他的工作，都是从他与朋友的信中了解到的。1799年高斯老爷相信平行公设不能从其余的欧几里得公理推出来，他开始认真的从事于开发一个新的又能应用的几何。他得出三角形的三顶点无论怎么远，都可能小于一定的极限。从1813年起，高斯发展他的新几何，最初称之为反欧几里得几何，后称为星空几何，最后才称其为非欧几里得几何。他是最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容的、并且可以描述物质空间的几何，是像欧氏几何一样正确的新几何学。

令人遗憾的是，高斯老爷没有发表著作。更令人遗憾的是，高斯老爷的几句话深深打击了波尔约兄弟。

02波尔约

波尔约兄弟的父亲为第五公设问题耗尽了他的青春年华，除了找到几个与第五公设等价的命题外，一无所获。波尔约想子承父业，他不顾父亲的阻挠，热切地研究着平行公设问题。在1825年波尔约兄弟已建立起非欧几何的思想，并且在那时已相信新几何不是自相矛盾的。

图6 波尔约

1820年，他得出结论：证明也许是不可能的。于是他开始致力于发展一种不依赖欧几里得公理的几何学。1823年他寄给父亲《空间的绝对科学》的草稿，这是一个完整的、无矛盾的非欧几何系统，时年21岁。他在1823年写成的这篇关于新几何学的论文《空间的绝对科学》，直到1831年才被作为附录发表在他父亲的著作中，但没有得到重视。后来，其父写信给高斯，想听听他的意见。高斯老爷在1832年3月6日的复信中写道：

"关于你儿子的工作，当我一开始便说我不能称赞他时，你一定会感到震惊……因为称赞他便等于称赞我自己，文章所有内容，你儿子采取的思路、方法以及所达结果，和我在30至35年前已开始的一部分工作完全相同，我真是被这些结果吓住了，……但我本来就是不愿发表的，……"

但这对波尔约兄弟却是一个重大打击。我不想再继续往下谈了，只是很同情我的波尔约兄弟。请允许我再聊聊罗巴切夫斯基大叔的陈年旧事吧。

03罗巴切夫斯基

1815年，罗巴切夫斯基大叔开始研究平行线理论，尽管他还是一个23岁的青年，但是已经留校工作，并在第二年升为额外教授。一开始，他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。

一个证据是，在保存下来的他的学生听课笔记中就记有他在1816~1817学年度几何教学中给出的几个证明。但是很快他便意识到自己的证明是错误的。他已经看到，"在概念本身之中并未包含大家想要证明的真情实况"，换句话说，从几何学的基本的前提和概念并不能推导出第五条公设。那么他怎么肯定这种推导的不可能性呢？

图7 罗巴切夫斯基

或许他曾了解过萨凯里、吕格尔、兰伯特等人的工作，并从中受益良多。他肯定了的是，可以循着萨凯里和兰贝尔特曾经走过前几步的途径，继续地走下去。

前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明。于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答。

罗巴切夫斯基大叔新的尝试是借助反证法进行的，这很像他的前辈萨凯里、兰伯特所使用的归谬法。不过为证"第五公设不可证"，他首先对第五公设加以否定，假设"过平面上直线外一点， 至少可引两条直线与已知直线不相交"，然后用这个否定命题和其他公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。假设第五公设是可证的，即第五公设可由其他公理公设推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了"第五公设可证"这一假设，从而也就间接证得"第五公设不可证"。

事实上，在推演过程中，他得到一连串古怪的命题，但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个"在结果中并不存在任何矛盾"的新公理系统可构成一种新的几何。它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美，而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何现实世界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为"想象几何"。

由此，罗巴切夫斯基大叔断定了第五条公设的不可证明性和根据否定公理展开新几何学的可能性。当然，这里包含着极为重要的一个普遍结果：在逻辑上可能的并不只是一种几何学。即是说，逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

不幸的是，罗巴切夫斯基大叔的这些成果在当时并没有得到重视，甚至一度被视为异端学说遭到打击。他不仅遭到了旁人的冷漠与同行的攻击，而且在晚年又遭到生理和心理的双重打击。在他去世前两年，他的理论仍受到一些科学家的抗拒。即便条件非常不利，他仍然坚持自己的发现是正确的。罗巴切夫斯基大叔对于科学真理的追求以及在绝望中战斗的精神是非常值得称赞的。他是个唯物主义者，不像康德，也不大喜欢康德先生的先验论之唯心主义见解。

当然，最后要提一下黎曼少侠，我心目中的偶像。此次不说，也要再找时机，跟四眼仔絮叨絮叨。

图8 黎曼

笔墨伺候

我跟四眼仔很熟，我不但能说出他的乳名，还知道他为了追女友，曾写过多少封情书。

"小子，休要说了，婆婆妈妈。"四眼仔扶起圈在鼻梁上的眼镜架，扬长便欲走，"你说的这些，我统统都知道，有什么稀奇的呢。"

"莫急，还有黎曼少侠呢。"我强拉他的衣袖，因为，我知道他哪里有事，一定又要跟他的女友吃烤地瓜去了，而且还俩人一起吃。我想挽救这个失足青年。

"你发Paper了嘛，你知道影响因子嘛？"四眼仔在老师的放养下，竟也发了两篇Paper，"休要教训我。"

四眼仔还是失足了。他说，爱，无非就是买。我不能理解。他说，既然数学不爱他，他也不爱它。我不能理解。当我已然混成博士的时候，四眼仔已经不搞数学了，他下海了，他说，那里有前程，他的女友也换了一茬又一茬。我不能理解。为什么呢，我搞不明白，四眼仔这样的人，应该比我更适合搞数学。四眼仔也搞不明白，他不能想象的是，一个每天看青年文摘的人，也能搞数学。

图9

后来，我当了一名普通的大学老师，那时正是生活拮据的时候，日子过得很艰难，每天还要忙着备课。也偶尔听到别的朋友说，四眼仔已经挣了很多钱了。又过了好多年，再没有四眼仔的消息了，每当我拿起一本谈黎曼少侠的小人书时，我就想起四眼仔，可是四眼仔已经听不到我的布道了。我现在倒开始理解他了。一个人的选择，无所谓应当不应当，自己喜欢就好了。有时候，我心里郁结。一个人，无所谓聪明与笨，关键在于走什么路。可是，四眼仔，我还想再跟你谈一谈黎曼少侠呢。

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