数学方法——形式与内容

　　数学的研究对象是形式化的思想材料，其内容反映着事物的数量变化规律。研究形式与内容这对范畴是数学方法的开端。

　　现实中任何一个事物都有形式和内容这两个侧面。一般来说，内容决定形式，而形式又积极影响内容。

　　在形式与内容这一对范畴中，数学方法从数量方面揭示形式的多样性。可以说运动事物在数量上和空间上的形式正是数学研究的对象。

　　数学具有高度抽象性，毋容置疑，但是它的抽象特点是什么?应该说是数学的形式化。“为要能够研究这些形式及其关系的纯粹情形，那么就应该完全把它们与其内容相分裂，把内容暂置不管，当作无所可否的东西”。原苏联数学家辛钦说“一切数学学科的决定性特点总是某种形式化的方法”。

　　数学抽象的另一个特点是研究思想材料。比如，世界上本来并没有“二次方程”这个事物，“二次方程”是人们研究数量关系产生出来的思想材料。没有人，就不会有自然数、函数和勾股定理，与此相对照的是，自然科学研究的是大自然本身，是客观存在的物质运动。

　　总之，数学的研究对象是形式化的思想材料，整个数学是一个形式化的思想体系。数学科学也正因此而和自然科学有质的不同。

　　数学方法的重要性之一，在于它能为科学研究提供简明精确的形式化语言。一门学科使用数学的形式语言越多，表明这门学科越成熟。从早期的计数法到四则运算，创造了“+”、“-”、“×”、“÷”、“=”的符号语言。阿拉伯人的代数语言给出了方程式、二次曲线ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0可以描绘行星运动及许多其他事物。牛顿(I.Newton)创立微积分，又发明了一套微积分语言，用微分方程描述麦克斯韦（Maxwell）电磁场，最后又导致ε-δ语言的产生。今日的拓扑学，用一套同伦、同调的语言来表述。数理逻辑则是一套形式的符号语言。计算机的出现，又从数学借用并发展出一套形式化的机器语言。

　　数学的形式化特点，并不是它没有内容，仅仅是一堆毫无意义的符号堆砌。数学的内容在于它能反映事物的数量变化规律。而且说到底，数学(作为一种形式)是否重要和有意义，仍是由它所反映的内容所决定的，反映得越深刻越准确，数学成果的价值就越大。数学有“好的数学”和“不太好的数学”，甚至“坏的数学”之分，其检验标准仍是由现实内容所规定的。现在全世界每年要发表几万篇数学论文。能够流传下来的为数很少。并不是这些论文的“证明”不严格，它的结论并不错，只是它的形式不能更好地表示内容，因而被冷落了，被扬弃了，或者被更好的数学形式所涵盖了，所替代了。

　　既然数学是一种数量形式，就有一个阻碍内容发展还是促进内容发展的问题。对于一个人来说也是如此，假如一位中学生，学了很多数学形式，却不会用三角函数去描述周期运动，用对数去计算复利，用统计方法去解释为什么在评分时要“去掉最高分与去掉最低分”，那么，数学形式的题目解得再好，却脱离了现实内容，结果产生了不适应：形式和内容脱节。另一方面，当代的科学技术提出了许多新的数学问题，例如非线性问题，混沌与分形，低维拓扑，人工智能，计算机复杂性等等，而我们不去适应发展着的内容，尽做一些意义不大的推广和雕琢，形式也会脱离内容。

　　哲学告诉我们，形式与内容这一对矛盾中，内容是积极的，最活跃的，居第一位的，形式则相对稳定，比较“保守”。当我们认识到数学是一种形式的时候，更应注意数学所反映的内容，以便积极地反映现实事物的数量发展，与此同时，也充实了数学自身的形式和内容。